逆三角関数のグラフの書き方について
こんばんは、今日は某おまめ先生のレポートにあった、逆三角関数のグラフの書き方について書いていきたいと思います。
この二つのパターンについて考えていきます。是非とも最後までお付き合いください。
例）f₍x) = cos(arccos(x)) ( -1≦x≦1 )
（この例では三角関数→cos、逆三角関数→arccosです。）
このパターンでは、三角関数の中（今回の場合はarccos(x)）を文字で置くのが得策と思われます。
解答例）θ = arccos(x)と置く。
逆三角関数の定義から、x = cosθ
θ = arccos(x)と置いているので、f(x) = cos(arccos(x)) = cosθ = x ( -1≦x≦1 )
したがって y = f(x)のグラフは、y = x ( -1≦x≦1 )
例）f(x) = arccos(cos(x)) （∀x ∊ ℝ）
（この例では逆三角関数→arccos、三角関数→cosです。）
このパターンは１と比べると難しいと思います。どの解法が一番いいのかは分かりかねますが、僕は逆三角関数の微分を使ってみました。詳しくは教科書などを参考にしてみてください。
いずれにしても、与式からcos(x) = cos(f(x))としてf(x) = xなどとしてはいけません。何故なら、xは任意の実数でありcosは周期関数であるので、複数のxが同じひとつのcosの値をとりうるからです。同様に右辺も一意的にf(x)の値が決まりません。つまり、「xの値を決めればf(x)の値が一意的に定まる」という関数の定義から外れてしまっているのです。
ではどうすればいいのでしょうか。この問題の場合、逆三角関数の定義に基づくと、cos(x) = cos(f(x)) 0≦f(x)≦π が正しいです。このようにすることで、f(x)の値が一意的に定まります。
解答例）逆三角関数の定義から、cos(x) = cos(f(x)) 0≦f(x)≦π
したがって、f(x) = ±x + 2mπ （ただし、f(x)が0からπの間に収まるように整数mを決定する。）例えば、2π≦x≦3πのときはf(x) = x -2π となります。（これを定量的に示すのは割愛します。ぜひチャレンジしてみてください。）
ちなみに結果的にはギザギザのグラフになります。（多分）
レポートの提出もあと僅かまで迫ってきていますが、皆さん頑張ってください。
