写像の証明について
こんにちは、今日は写像の証明の書き方を考えていきます。是非とも最後までお付き合いください。
写像の証明は「習うより慣れろ」なものだと思います。なので実際の問題を考えながら、証明の書き方を見ていきましょう。1つの問題で全射と単射と全単射と合成写像に触れられる問題があったのでそれを紹介します。逆写像、定値写像、恒等写像、直積集合については機会があればupします。
この問題では、ｇ◦ｆが全射であり、かつ単射であることを証明する必要があります。つまり、1個の問題で2回証明をするのです。それではまずｇ◦ｆが単射であることを示します。ちなみに、賢い読者さんは分かっていると思いますが、単射であることの使い方は「写像した結果が同じならば写像前も等しい」という風に使うのがよいでしょう。（他にも色々な表現法はあると思いますが。）なぜなら単射はそもそも写像と写像が一対一対応している状態のことを表しているからです。
解答例）ｇ◦ｆが全単射であることは、ｇ◦ｆが全射であり、かつｇ◦ｆが単射であることと同値である。まず、ｇ◦ｆが単射であることを示す。
任意にa1,a2∈Aをとる。このときｇ◦ｆ(a1)=ｇ◦ｆ(a2)と仮定する。
ｇ◦ｆ(a1)＝ｇ(ｆ(a1))
ｇ◦ｆ(a2)＝ｇ(ｆ(a2))
が成り立ち、ｇは単射なので（∵ｇは全単射）、ｇ◦ｆ(a1)=ｇ◦ｆ(a2)という仮定から
ｆ(a1)=ｆ(a2)
が成り立つ。さらにｆも単射なので
a1=a2
が成り立つ。したがって、任意のa1,a2∈Aに対してｇ◦ｆ(a1)=ｇ◦ｆ(a2)が成り立つときa1=a2が成り立つので、ｇ◦ｆは単射である。
次にｇ◦ｆが全射であることを示しますが、証明における全射の使い方も確認しておきましょう。全射は、「写像後の集合から任意に要素をとってきた場合に、その要素の写像前の要素が必ず1つ以上存在する」というような使い方がいいのではないでしょうか（というより定義そのものですね）1つ以上存在することを示すには、1つ具体的に（とはいっても文字を使いますが）存在することを示してやればいいのです。
解答例の続き）
次にｇ◦ｆが全射であることを示す。任意にｃ∈Cをとる。ｇは全射であるので、
ｇ(b)=c
を満たすb∈Bをとる。ｆも全射なので、このbに対して
ｆ(a)=b
を満たすa∈Aをとる。このとき
ｇ◦ｆ(a)=ｇ(ｆ(a))=c
となる。したがって、任意のｃ∈Cに対してｇ◦ｆ(a)=cを満たすa∈Aが存在するのでｇ◦ｆは全射である。以上からｇ◦ｆは全単射である。(Q.E.D)
どうでしたか？以上のことをまとめると、単射では「任意にとる」と「写像後が同じ⇒とった文字が同じ」がお作法であり、全射では「任意にとる」と「写像後からどれをとっても写像前が存在する」がお作法です。あとはこれらを組み合わせていけばいいわけです。
というわけで、とりあえず写像の話は終わりにします。課題頑張ってください。
あ、余談になりますが青ブタの映画見に行くので覚えてたら感想とか書きます。
ではではー。
